Упр.249 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом значении $$a$$ существует касательная к графику функции $$f(x)=x^2-ax$$, перпендикулярная прямой $$y=-x$$.

Найдём производную функции $$f(x)=x^2-ax.$$

$$f'(x)=2x-a.$$

Касательная к графику функции перпендикулярна прямой $$y=-x$$, если её угловой коэффициент равен числу, обратному по модулю и противоположному по знаку угловому коэффициенту этой прямой. У прямой $$y=-x$$ угловой коэффициент равен $$-1$$, значит, для перпендикулярной касательной он равен $$1$$.

Тогда в точке касания должно выполняться

$$f'(x)=1,$$

то есть

$$2x-a=1.$$

Отсюда

$$2x=a+1,\qquad x=\frac{a+1}{2}.$$

При любом значении $$a$$ такое число $$x$$ существует, значит, существует и точка графика, в которой касательная имеет угловой коэффициент $$1$$, то есть перпендикулярна прямой $$y=-x$$.

Ответ: при любом $$a$$ существует касательная к графику $$f(x)=x^2-ax$$, перпендикулярная прямой $$y=-x$$.