Упр.247 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ график функции $$f(x)=\frac{ax-x^3}{4}$$ пересекает ось абсцисс под углом 45° (хотя бы в одной из точек пересечения)?

Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс:

$$f(x)=\frac{ax-x^3}{4}=0 \;\Rightarrow\; x(ax-x^2)=0 \;\Rightarrow\; x(a-x^2)=0.$$

Отсюда

$$x_1=0,\qquad x_2=\pm\sqrt{a}.$$

Угол между касательной и осью $$Ox$$ равен $$45^\circ$$, значит

$$\tan 45^\circ=1.$$

Производная функции:

$$f'(x)=\frac{a-3x^2}{4}.$$

В точке пересечения с осью абсцисс касательная должна иметь угловой коэффициент по модулю, равный $$1$$:

$$|f'(x)|=1.$$

Проверим точки пересечения.

В точке $$x=0$$:

$$f'(0)=\frac{a}{4},$$

поэтому

$$\left|\frac{a}{4}\right|=1 \;\Rightarrow\; |a|=4.$$

При $$a=-4$$ точки $$x=\pm\sqrt{a}$$ не существуют, а точка пересечения только одна — $$x=0$$. Тогда условие выполняется. При $$a=4$$ также получаем подходящую точку пересечения.

Следовательно,

Ответ: $$a=\pm 4.$$