Упр.236 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\ln(x)=1-x$$; б) $$2^x=3-x$$.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\ln x+x-1.$$

Её область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x}+1.$$

При $$x>0$$ имеем $$\frac{1}{x}>0$$, значит $$f'(x)>0.$$ Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает на своей области определения и может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=1$$:

$$f(1)=\ln 1+1-1=0.$$

Значит, $$x=1$$ — корень уравнения.

Ответ: $$x=1.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=2^x+x-3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2^x\ln 2+1.$$

Так как $$2^x>0$$ и $$\ln 2>0$$ при любом $$x$$, то $$f'(x)>0.$$ Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой и может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=1$$:

$$f(1)=2^1+1-3=0.$$

Значит, $$x=1$$ — корень уравнения.

Ответ: $$x=1.$$