Упр.228 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) $$f(x)=4x^3-x|x-2|$$ на $$[0;3]$$;
б) $$f(x)=\max\left(R,\frac{10}{x^2+4?x+41}+\cos(x)\right)$$.
а) Разобьём модуль по знаку выражения $$x-2$$:
$$f(x)=4x^3-x|x-2|= \begin{cases} 4x^3-x(x-2), & x\ge 2,\\ 4x^3+x(x-2), & x\le 2. \end{cases}$$
1) При $$0\le x\le 2$$ имеем
$$f_1(x)=4x^3+x(x-2)=4x^3+x^2-2x.$$
$$f_1′(x)=12x^2+2x-2.$$
Решим уравнение $$12x^2+2x-2=0$$:
$$6x^2+x-1=0,\qquad D=1+24=25.$$
$$x_1=\frac{-1-5}{12}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{-1+5}{12}=\frac13.$$
На отрезке $$[0;2]$$ лежит только точка $$x=\frac13$$. Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(0)=0,\qquad f\!\left(\frac13\right)=4\cdot\frac1{27}+\frac1{9}-\frac23=\frac4{27}+\frac3{27}-\frac{18}{27}=-\frac{11}{27},$$
$$f(2)=4\cdot 8-2\cdot 0=32.$$
2) При $$2\le x\le 3$$ имеем
$$f_2(x)=4x^3-x(x-2)=4x^3-x^2+2x.$$
$$f_2′(x)=12x^2-2x+2.$$
Так как
$$D=(-2)^2-4\cdot 12\cdot 2=4-96<0,$$
а старший коэффициент положителен, то $$f_2′(x)>0$$ при всех $$x$$. Значит, на $$[2;3]$$ функция возрастает, и наибольшее значение достигается при $$x=3$$:
$$f(3)=4\cdot 27-3\cdot |3-2|=108-3=105.$$
Сравнивая найденные значения, получаем:
$$f_{\min}=-\frac{11}{27},\qquad f_{\max}=105.$$
Ответ
а) $$-\frac{11}{27};\ 105$$.
б) Пусть
$$f(x)=\frac{10}{x^2+4\pi x+41}+\cos x.$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, а
$$x^2+4\pi x+41=(x+2\pi)^2+41-4\pi^2\ge 41-4\pi^2,$$
то
$$\frac{10}{x^2+4\pi x+41}\le \frac{10}{41-4\pi^2}.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно
$$\frac{10}{41-4\pi^2}+1.$$
Ответ
б) $$\frac{10}{41-4\pi^2}+1$$.
