Упр.227 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$ — дробно-рациональная функция ($$n$$ — степень $$P(x)$$, $$m$$ — степень $$Q(x)$$). Докажите, что: а) $$R(x)$$ каждое своё значение принимает не более чем при $$k=\max(m,n)$$ значениях $$x$$; б) $$R(x)$$ имеет не более чем $$(m+n-1)$$ точек экстремума, если $$m\ne n$$, и не более чем $$(m+n-2)$$ точек экстремума, если $$m=n$$.

Пусть $$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},$$ где $$\deg P(x)=n,$$ $$\deg Q(x)=m.$$

а)

Рассмотрим значение $$R(x)=C.$$ Тогда

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=C \;\;\Longrightarrow\;\; P(x)-C\cdot Q(x)=0.$$

Получили уравнение с многочленом

$$I(x)=P(x)-C\cdot Q(x).$$

Его степень не превосходит $$\max(m,n),$$ значит, уравнение $$I(x)=0$$ имеет не более чем $$\max(m,n)$$ корней. Следовательно, каждое своё значение функция $$R(x)$$ принимает не более чем при $$\max(m,n)$$ значениях $$x.$$

б)

Найдём производную:

$$R'(x)=\frac{P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q^2(x)}.$$

Точки экстремума могут быть только среди корней числителя производной, то есть из уравнения

$$M(x)=P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)=0.$$

Степень многочлена $$M(x)$$ не превосходит

$$\deg M(x)\le (n-1)+m=m+n-1.$$

Значит, если $$m\ne n,$$ то функция $$R(x)$$ имеет не более чем $$m+n-1$$ точек экстремума.

Если же $$m=n,$$ то старшие члены в $$P'(x)Q(x)$$ и $$P(x)Q'(x)$$ взаимно уничтожаются, поэтому

$$\deg M(x)\le m+n-2.$$

Следовательно, в этом случае число точек экстремума не превосходит $$m+n-2.$$

Ответ

а) Каждое значение $$R(x)$$ принимает не более чем при $$\max(m,n)$$ значениях $$x.$$
б) $$R(x)$$ имеет не более чем $$m+n-1$$ точек экстремума при $$m\ne n$$ и не более чем $$m+n-2$$ точек экстремума при $$m=n.$$