Упр.210 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что если функция $$f$$ дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений $$x_1$$ и $$x_2$$ выполнено равенство $$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$$, то $$f'(x)$$ постоянная.

Из условия при $$x_1=0$$ и $$x_2=0$$ получаем

$$f(0+0)=f(0)+f(0),$$

то есть

$$f(0)=2f(0),$$

откуда $$f(0)=0.$$

Теперь для любого $$x$$ и любого приращения $$\Delta x$$ имеем

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

По условию

$$f(x+\Delta x)=f(x)+f(\Delta x),$$

значит

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}.$$

Так как $$f(0)=0$$, то

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}.$$

Переходя к пределу при $$\Delta x \to 0$$, получаем

$$f'(x)=f'(0).$$

Следовательно, производная $$f'(x)$$ не зависит от $$x$$, то есть является постоянной.

Ответ

$$f'(x)=\text{const}.$$