Упр.202 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$\log(2;2^x-1)\log\left(\frac{1}{2};2^{x+1}-2\right)>2$$;
   б) $$3^{\log^2(3;x)}+x^{\log(3;x)}<6$$;
   в) $$3^{\lg(x)+2}<3^{\lg(2x)+5}-2$$;
   г) $$5^{\log^2(5;x)}+x^{\log(5;x)}<10$$.

а) Обозначим $$y=\log_2(2^x-1).$$ Тогда

$$\log_2(2^x-1)\cdot \log_{\frac12}(2^{x+1}-2)>2.$$

Так как $$2^{x+1}-2=2(2^x-1),$$ то

$$\log_{\frac12}(2^{x+1}-2)=-\log_2\bigl(2(2^x-1)\bigr)=-\bigl(1+\log_2(2^x-1)\bigr)=-1-y.$$

Получаем

$$y(-1-y)>2,$$

$$y^2+y+2<0.$$

Но $$D=1-8=-7<0,$$ значит, неравенство решений не имеет.

б) Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$x=3^t,$$ и

$$3^{\log_3^2 x}+x^{\log_3 x}<6$$

преобразуется к виду

$$3^{t^2}+(3^t)^t<6,$$

$$3^{t^2}+3^{t^2}<6,$$

$$2\cdot 3^{t^2}<6,$$

$$3^{t^2}<3,$$

$$t^2<1,$$

$$-1

Следовательно,

$$\frac13<x<3.$$

в) Обозначим $$a=\lg x.$$ Тогда $$\lg(2x)=\lg 2+\lg x=\lg 2+a.$$ Имеем

$$3^{\lg x+2}<3^{\lg(2x)+5}-2,$$

$$9\cdot 3^a<3^{a+\lg 2+5}-2,$$

$$9\cdot 3^a<3^a\cdot 3^{\lg 2+5}-2,$$

$$3^a\bigl(3^{\lg 2+5}-9\bigr)>2.$$

Так как $$3^{\lg 2+5}-9>0,$$ то

$$3^a>\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9},$$

$$a>\log_3\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}.$$

Следовательно,

$$x>10^{\log_3\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}}.$$

г) Пусть $$t=\log_5 x.$$ Тогда $$x=5^t,$$ и

$$5^{\log_5^2 x}+x^{\log_5 x}<10$$

преобразуется к виду

$$5^{t^2}+(5^t)^t<10,$$

$$5^{t^2}+5^{t^2}<10,$$

$$2\cdot 5^{t^2}<10,$$

$$5^{t^2}<5,$$

$$t^2<1,$$

$$-1<t<1.$$

Значит,

$$\frac15<x<5.$$

Ответ

а) решений нет; б) $$\left(\frac13;3\right)$$; в) $$\left(10^{\log_3\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}};\infty\right)$$; г) $$\left(\frac15;5\right).$$