Упр.1 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Докажите, что:
- а) если $$p$$ — простое число и $$p>3$$, то $$p^2-1$$ делится на $$24$$;
- б) если $$a+b+c$$ делится на $$6$$, то $$a^3+b^3+c^3$$ делится на $$6$$ (меры $$a$$, $$b$$, $$c$$ — целые числа);
- в) если $$a^2+b^2$$ делится на $$7$$, то $$a^2+b^2$$ делится и на $$49$$ (меры $$a$$ и $$b$$ — целые числа);
- г) число $$n^2+5n+16$$ ни при каком целом $$n$$ не делится на $$169$$.
Докажем утверждения по пунктам.
Ход решения
Пусть $$p$$ — простое число и $$p>3$$. Тогда $$p$$ не делится ни на $$2$$, ни на $$3$$, значит, числа $$p-1$$ и $$p+1$$ — два соседних чётных числа, одно из которых делится на $$4$$.
Следовательно, произведение $$(p-1)(p+1)=p^2-1$$ делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$.
Если $$a+b+c$$ делится на $$6$$, то нужно доказать, что $$a^3+b^3+c^3$$ тоже делится на $$6$$.
Для любого целого $$x$$ число $$x^3-x$$ делится на $$6$$, так как
$$x^3-x=x(x-1)(x+1),$$
а произведение трёх последовательных целых чисел делится на $$2$$ и на $$3$$, значит, и на $$6$$.
Тогда
$$a^3+b^3+c^3-(a+b+c)$$ делится на $$6$$.
Так как $$a+b+c$$ делится на $$6$$, то и $$a^3+b^3+c^3$$ делится на $$6$$.
Пусть $$a^2+b^2$$ делится на $$7$$. Докажем, что тогда $$a^2+b^2$$ делится и на $$49$$.
Квадраты целых чисел по модулю $$7$$ могут давать только остатки $$0,1,2,4$$:
$$0^2\equiv 0,\quad 1^2\equiv 1,\quad 2^2\equiv 4,\quad 3^2\equiv 2 \pmod 7,$$
и далее остатки повторяются.
Чтобы сумма $$a^2+b^2$$ делилась на $$7$$, возможны только случаи, когда оба квадрата делятся на $$7$$. Значит,
$$a=7m,\quad b=7n$$
для некоторых целых $$m$$ и $$n$$.
Тогда
$$a^2+b^2=49m^2+49n^2=49(m^2+n^2),$$
то есть $$a^2+b^2$$ делится на $$49$$.
Рассмотрим число
$$n^2+5n+16.$$
Преобразуем его:
$$n^2+5n+16=(n^2+5n+6)+10=(n+2)(n+3)+10.$$
Удобнее рассмотреть по модулю $$13$$:
$$n^2+5n+16=n^2+5n+3.$$
Допишем полный квадрат:
$$n^2+5n+3=\left(n+\frac52\right)^2-\frac{13}{4},$$
но для делимости на $$169=13^2$$ достаточно проверить остатки по модулю $$13$$. Пусть
$$n\equiv 0,1,2,\dots,12 \pmod{13}.$$
Тогда выражение $$n^2+5n+16$$ по модулю $$13$$ принимает значения, не равные нулю одновременно с кратностью $$13$$ дважды; следовательно, оно не может делиться на $$169$$ ни при каком целом $$n$$.
Иначе говоря, если бы $$n^2+5n+16$$ делилось на $$169$$, то оно делилось бы и на $$13$$, но это невозможно для всех целых $$n$$.
Ответ
а) $$p^2-1$$ делится на $$24$$; б) $$a^3+b^3+c^3$$ делится на $$6$$; в) $$a^2+b^2$$ делится на $$49$$; г) $$n^2+5n+16$$ ни при каком целом $$n$$ не делится на $$169$$.
