Упр.17 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.
Любую бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить как сумму конечной десятичной дроби и бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
Пусть период содержит $$k$$ цифр. Тогда дробь имеет вид
$$a=0,c_1c_2\dots c_m\overline{d_1d_2\dots d_k}.$$
Её можно записать как
$$a=0,c_1c_2\dots c_m+d_1d_2\dots d_k\cdot 10^{-(m+k)}+d_1d_2\dots d_k\cdot 10^{-(m+2k)}+\dots$$
Вторая часть — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $$10^{-k}$$. Так как $$|10^{-k}|<1$$, её сумма равна
$$S=\frac{d_1d_2\dots d_k\cdot 10^{-(m+k)}}{1-10^{-k}}.$$
Следовательно, вся дробь выражается как сумма рациональных чисел, а значит, сама является рациональным числом.
Ответ: любая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.
