Упр.173 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$2\cos\left(\frac{x}{10}\right)=2^x+2^{-x}$$.

Рассмотрим уравнение $$2\cos\frac{x}{10}=2^x+2^{-x}.$$

Для любого $$t>0$$ верно неравенство

$$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $$t=1.$$

Положим $$t=2^x.$$ Тогда $$t>0$$ и

$$2^x+2^{-x}=t+\frac{1}{t}\ge 2.$$

С другой стороны,

$$2\cos\frac{x}{10}\le 2,$$

так как $$\cos\frac{x}{10}\le 1.$$

Следовательно, чтобы равенство

$$2\cos\frac{x}{10}=2^x+2^{-x}$$

выполнялось, обе части должны быть равны $$2$$.

Тогда

$$2^x+2^{-x}=2,$$

откуда $$2^x=1$$ и $$x=0.$$

Проверка:

$$2\cos 0=2,\qquad 2^0+2^{-0}=1+1=2.$$

Ответ

$$0$$