Упр.163 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$3+2\sin(2x)=\operatorname{tg}(x)+\operatorname{ctg}(x)$$; б) $$\operatorname{tg}(x)-\sin(x)=1-\operatorname{tg}(x)\sin(x)$$; в) $$\sin^2(x)+\sin^2(2x)=\sin^2(3x)$$; г) $$v(6\sin(x))-2\cos(x)=0$$.

а) $$3+2\sin 2x=\tg x+\ctg x.$$

Преобразуем правую часть:

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}.$$

Тогда

$$3+2\sin 2x=\frac{2}{\sin 2x}.$$

Пусть $$y=\sin 2x$$. Тогда

$$3+2y=\frac{2}{y},$$

$$2y^2+3y-2=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$

$$y_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad y_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12.$$

Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1].$$

Остаётся

$$\sin 2x=\frac12.$$

Отсюда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\tg x-\sin x=1-\tg x\sin x.$$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$\tg x-\sin x-1+\tg x\sin x=0,$$

$$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x-1+\frac{\sin^2 x}{\cos x}=0,$$

$$\sin x-\sin x\cos x=\cos x-\sin^2 x,$$

$$\sin x(1+\sin x)=\cos x(1+\sin x),$$

$$\bigl(\sin x-\cos x\bigr)(1+\sin x)=0.$$

Получаем два случая:

$$\sin x-\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad \tg x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$1+\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Но при $$\cos x=0$$ выражение $$\tg x$$ не определено, поэтому это значение не подходит. Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x.$$

Используем формулу $$\sin^2 A-\sin^2 B=(\sin A-\sin B)(\sin A+\sin B)$$:

$$\bigl(\sin^2 x-\sin^2 3x\bigr)+\sin^2 2x=0,$$

$$\bigl(\sin x-\sin 3x\bigr)\bigl(\sin x+\sin 3x\bigr)+\sin^2 2x=0.$$

Так как

$$\sin x-\sin 3x=-2\cos 2x\sin x,$$

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x,$$

то

$$-4\sin x\cos 2x\sin 2x\cos x+\sin^2 2x=0.$$

Удобнее преобразовать иначе:

$$\sin^2 x+\sin^2 2x-\sin^2 3x=0,$$

$$\sin 2x\bigl(\sin 2x-\sin 4x\bigr)=0,$$

$$\sin 2x\cdot\bigl(-2\cos 3x\sin x\bigr)=0.$$

Отсюда получаем три случая:

$$\sin 2x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2},$$

$$\cos 3x=0 \quad \Rightarrow \quad 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},$$

$$\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

Так как множество $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2},$$ окончательно можно записать:

$$x=\frac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sqrt{6\sin x}-2\cos x=0.$$

Перенесём второй член:

$$\sqrt{6\sin x}=2\cos x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то обязательно $$\cos x\ge 0.$$ Возведём в квадрат:

$$6\sin x=4\cos^2 x.$$

Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$6\sin x=4(1-\sin^2 x),$$

$$4\sin^2 x+6\sin x-4=0,$$

$$2\sin^2 x+3\sin x-2=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2+3y-2=0,$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25,$$

$$y_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad y_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12.$$

Значение $$y=-2$$ не подходит. Значит,

$$\sin x=\frac12.$$

С учётом условия $$\cos x\ge 0$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\frac{\pi n}{2}\ \text{или}\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$