Упр.147 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения:

а) $$v(x-1-2v(x-2))+v(x+7-6v(x-2))=2$$;

б) $$v(x+3-4v(x-1))+v(x+8-6v(x-1))=1$$.

а) Пусть $$y=\sqrt{x-2}.$$ Тогда $$x=y^2+2,$$ где $$y\ge 0.$$

Получаем:

$$\sqrt{y^2+1-2y}+\sqrt{y^2+9-6y}=2,$$

то есть

$$\sqrt{(y-1)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=2,$$

$$|y-1|+|y-3|=2.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$y\le 1,$$ то $$1-y+3-y=2,$$ откуда $$2y=2,$$ значит $$y=1$$;
• если $$1\le y\le 3,$$ то $$y-1+3-y=2,$$ равенство верно при любом $$y$$;
• если $$y\ge 3,$$ то $$y-1+y-3=2,$$ откуда $$2y=6,$$ значит $$y=3$$.

Следовательно, $$1\le y\le 3.$$ Возвращаясь к замене, получаем:

$$1\le \sqrt{x-2}\le 3,$$

$$1\le x-2\le 9,$$

$$3\le x\le 11.$$

б) Пусть $$y=\sqrt{x-1}.$$ Тогда $$x=y^2+1,$$ где $$y\ge 0.$$

Получаем:

$$\sqrt{y^2+4-4y}+\sqrt{y^2+9-6y}=1,$$

то есть

$$\sqrt{(y-2)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=1,$$

$$|y-2|+|y-3|=1.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$y\le 2,$$ то $$2-y+3-y=1,$$ откуда $$2y=4,$$ значит $$y=2$$;
• если $$2\le y\le 3,$$ то $$y-2+3-y=1,$$ равенство верно при любом $$y$$;
• если $$y\ge 3,$$ то $$y-2+y-3=1,$$ откуда $$2y=6,$$ значит $$y=3$$.

Следовательно, $$2\le y\le 3.$$ Возвращаясь к замене, получаем:

$$2\le \sqrt{x-1}\le 3,$$

$$4\le x-1\le 9,$$

$$5\le x\le 10.$$

Ответ: а) $$[3;11]$$; б) $$[5;10]$$.