Упр.133 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

а) $$\begin{cases}2x\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)=15,\\3y\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)=20,\\6z\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=13;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\frac{xy}{x+y}=\frac{6}{5},\\\frac{xz}{x+z}=\frac{3}{4},\\\frac{zy}{z+y}=\frac{2}{3}.\end{cases}$$

Пусть в пункте а $$a=\frac{xy}{z},\quad b=\frac{xz}{y},\quad c=\frac{yz}{x}.$$ Тогда система принимает вид:

$$\begin{cases} 2a+2b=15,\\ 3a+3c=20,\\ 6b+6c=13. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$a+b=\frac{15}{2},$$ из второго $$a+c=\frac{20}{3},$$ из третьего $$b+c=\frac{13}{6}.$$

Вычтем третье равенство из суммы первых двух:

$$(a+b)+(a+c)-(b+c)=\frac{15}{2}+\frac{20}{3}-\frac{13}{6},$$

$$2a=\frac{45}{6}+\frac{40}{6}-\frac{13}{6}=\frac{72}{6}=12,$$

откуда $$a=6.$$ Тогда

$$b=\frac{15}{2}-6=\frac{3}{2},\qquad c=\frac{20}{3}-6=\frac{2}{3}.$$

Теперь получаем:

$$\frac{xy}{z}=6,\qquad \frac{xz}{y}=\frac{3}{2},\qquad \frac{yz}{x}=\frac{2}{3}.$$

Из третьего уравнения:

$$\frac{yz}{x}=\frac{2}{3}\quad \Rightarrow \quad y^2=\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{x}{z}\right)y,$$

удобнее использовать найденные отношения последовательно. Из $$\frac{xy}{z}=6$$ и $$\frac{yz}{x}=\frac{2}{3}$$ получаем

$$\frac{xy}{z}\cdot \frac{yz}{x}=6\cdot \frac{2}{3},$$

$$y^2=4,\qquad y=\pm 2.$$

Если $$y=2,$$ то из $$\frac{yz}{x}=\frac{2}{3}$$ имеем

$$\frac{2z}{x}=\frac{2}{3}\quad \Rightarrow \quad x=3z.$$

Подставим в $$\frac{xz}{y}=\frac{3}{2}:$$

$$\frac{3z\cdot z}{2}=\frac{3}{2}\quad \Rightarrow \quad z^2=1,\quad z=\pm 1.$$

Тогда $$x=3z,$$ и получаем пары:

$$(3;2;1),\quad (-3;2;-1).$$

Если $$y=-2,$$ то аналогично из $$\frac{yz}{x}=\frac{2}{3}$$ получаем $$x=-3z,$$ а из $$\frac{xz}{y}=\frac{3}{2}$$ снова $$z^2=1.$$ Тогда

$$(3;-2;-1),\quad (-3;-2;1).$$

Пусть в пункте б $$a=\frac1x,\quad b=\frac1y,\quad c=\frac1z.$$ Тогда

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{1}{a+b},\qquad \frac{xz}{x+z}=\frac{1}{a+c},\qquad \frac{yz}{y+z}=\frac{1}{b+c}.$$

Следовательно, система равносильна:

$$\begin{cases} a+b=\frac{5}{6},\\ a+c=\frac{4}{3},\\ b+c=\frac{3}{2}. \end{cases}$$

Сложим первые два равенства и вычтем третье:

$$2a=\frac{5}{6}+\frac{4}{3}-\frac{3}{2} =\frac{5}{6}+\frac{8}{6}-\frac{9}{6} =\frac{4}{6}=\frac{2}{3},$$

откуда $$a=\frac{1}{3}.$$ Тогда

$$b=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2},\qquad c=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1.$$

Значит,

$$x=\frac{1}{a}=3,\qquad y=\frac{1}{b}=2,\qquad z=\frac{1}{c}=1.$$

Ответ

а) $$(3;2;1),\ (3;-2;-1),\ (-3;2;-1),\ (-3;-2;1).$$

б) $$(3;2;1).$$