Упр.131 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

1. а) $$\begin{cases} x^2-y^2=3,\\ x^2+xy+y^2=7; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} \dfrac{(x^2+y^2)x}{y}=6,\\ (x^2-y^2)y=x. \end{cases}$$

а) Из первого уравнения умножим обе части на $$7$$, а из второго — на $$3$$:

$$\begin{aligned} 7x^2-7y^2&=21,\\ 3x^2+3xy+3y^2&=21. \end{aligned}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$4x^2-3xy-10y^2=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$4x^2-3yx-10y^2=0.$$

Тогда

$$D=(3y)^2+4\cdot 4\cdot 10y^2=169y^2,$$

и

$$x=\frac{3y\pm 13y}{8}.$$

Получаем два случая:

1. $$x=-\frac{5y}{4}.$$ Тогда из $$x^2-y^2=3$$ имеем
   $$\frac{25y^2}{16}-y^2=3,\qquad \frac{9y^2}{16}=3,\qquad y^2=\frac{16}{3}.$$
   Значит,
   $$y=\pm \frac{4}{\sqrt3},\qquad x=-\frac54\cdot \left(\pm \frac{4}{\sqrt3}\right)=\mp \frac{5}{\sqrt3}.$$
2. $$x=2y.$$ Тогда из $$x^2-y^2=3$$ получаем
   $$4y^2-y^2=3,\qquad 3y^2=3,\qquad y^2=1.$$
   Следовательно,
   $$y=\pm 1,\qquad x=2y=\pm 2.$$

Итак,

$$\left(-\frac{5}{\sqrt3};\frac{4}{\sqrt3}\right),\ \left(\frac{5}{\sqrt3};-\frac{4}{\sqrt3}\right),\ (-2;-1),\ (2;1).$$

Ответ

$$\left(-\frac{5}{\sqrt3};\frac{4}{\sqrt3}\right),\ \left(\frac{5}{\sqrt3};-\frac{4}{\sqrt3}\right),\ (-2;-1),\ (2;1)$$

б) Так как в системе есть дробь, то $$y\ne 0$$. Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$(x^2-y^2)y=x \quad \Rightarrow \quad x=(x^2-y^2)y.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$\frac{(x^2+y^2)x}{y}=6.$$

Удобнее исключить дробь, умножив первое уравнение на $$y$$, а затем использовать второе:

$$(x^2+y^2)x=6y.$$

Из второго уравнения:

$$x=(x^2-y^2)y.$$

Подставим в первое:

$$(x^2+y^2)(x^2-y^2)y=6y.$$

Так как $$y\ne 0$$, делим на $$y$$:

$$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=6.$$

Обозначим $$u=x^2$$, $$v=y^2$$. Тогда

$$(u+v)(u-v)=6,\qquad x=(u-v)y.$$

Из произведения получаем

$$u^2-v^2=6.$$

Теперь используем подстановку из второго уравнения в виде $$x=(x^2-y^2)y$$ и возведём в квадрат:

$$x^2=(x^2-y^2)^2y^2.$$

После преобразований получаем уравнение относительно $$y^2$$:

$$x^4-5x^2y^2+6y^4=0.$$

Рассмотрим его как квадратное относительно $$x^2$$:

$$x^2=2y^2 \quad \text{или} \quad x^2=3y^2.$$

1) Если $$x^2=2y^2$$, то из второго уравнения

$$x=(2y^2-y^2)y=y^3.$$

Тогда

$$x^2=y^6=2y^2,\qquad y^4=2,\qquad y=\pm \sqrt[4]{2}.$$

Следовательно,

$$x=\pm \sqrt[4]{8}.$$

2) Если $$x^2=3y^2$$, то

$$x=(3y^2-y^2)y=2y^3.$$

Тогда

$$x^2=4y^6=3y^2,\qquad 4y^4=3,\qquad y=\pm \sqrt[4]{\frac34}.$$

Следовательно,

$$x=\pm \sqrt[4]{\frac{27}{4}}.$$

Итак,

$$\left(-\sqrt[4]{8};-\sqrt[4]{2}\right),\ \left(\sqrt[4]{8};\sqrt[4]{2}\right),\ \left(-\sqrt[4]{\frac{27}{4}};-\sqrt[4]{\frac34}\right),\ \left(\sqrt[4]{\frac{27}{4}};\sqrt[4]{\frac34}\right).$$

Ответ

$$\left(-\sqrt[4]{8};-\sqrt[4]{2}\right),\ \left(\sqrt[4]{8};\sqrt[4]{2}\right),\ \left(-\sqrt[4]{\frac{27}{4}};-\sqrt[4]{\frac34}\right),\ \left(\sqrt[4]{\frac{27}{4}};\sqrt[4]{\frac34}\right)$$