Упр.104 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пользуясь результатом задачи 103, решите уравнение:

• а) $$2x^3-x^2+x+1=0$$;
• б) $$10x^3-3x^2-2x+1=0$$;
• в) $$x^4+x^3+x^2-x-2=0$$;
• г) $$2x^4+7x^3+6x^2+7x-6=0$$.

а) Подбираем корень $$x=-\frac12$$ и раскладываем многочлен на множители:

$$2x^3-x^2+x+1=(2x+1)(x^2-x+1).$$

Тогда

$$(2x+1)(x^2-x+1)=0.$$

Из первого множителя получаем

$$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$

У квадратного уравнения $$x^2-x+1=0$$ дискриминант

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0,$$

действительных корней нет.

б) Аналогично, при $$x=-\frac12$$ получаем корень и разложение:

$$10x^3-3x^2-2x+1=(2x+1)(5x^2-4x+1).$$

Тогда

$$(2x+1)(5x^2-4x+1)=0.$$

Из первого множителя

$$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$

Для квадратного уравнения $$5x^2-4x+1=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot 1=16-20=-4<0,$$

действительных корней нет.

в) Проверяем корень $$x=-1$$ и раскладываем:

$$x^4+x^3+x^2-x-2=(x+1)(x-1)(x^2+x+2).$$

Тогда

$$(x+1)(x-1)(x^2+x+2)=0.$$

Из первых двух множителей получаем

$$x+1=0,\quad x=-1;$$

$$x-1=0,\quad x=1.$$

Уравнение $$x^2+x+2=0$$ действительных корней не имеет, так как

$$D=1-8=-7<0.$$

г) Подбираем корни $$x=-3$$ и $$x=\frac12$$:

$$2x^4+7x^3+6x^2+7x-6=(x+3)(2x-1)(x^2+x+2).$$

Тогда

$$(x+3)(2x-1)(x^2+x+2)=0.$$

Из первых двух множителей

$$x+3=0,\quad x=-3;$$

$$2x-1=0,\quad x=\frac12.$$

Уравнение $$x^2+x+2=0$$ действительных корней не имеет, так как

$$D=1-8=-7<0.$$

Ответ

а) $$x=-\frac12$$; б) $$x=-\frac12$$; в) $$x=-1,\ 1$$; г) $$x=-3,\ \frac12$$.