Упр.99 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=x^2-2|x|+1=(|x|)^2-2|x|+1=(|x|-1)^2.$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

Область значений: $$E(f)=[0;+\infty).$$

Функция чётная.

Найдём точки пересечения с осями координат:

$$f(0)=(|0|-1)^2=1,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$\,(0;1).$$

Решим уравнение $$f(x)=0$$:

$$(|x|-1)^2=0 \\\\ |x|=1 \\\\ x=\pm 1.$$

Точки пересечения с осью абсцисс: $$(-1;0)$$ и $$(1;0).$$

Минимум функции: $$f_{\min}=0$$ при $$x=\pm 1.$$

Максимума нет.

Функция убывает на промежутках $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1],$$ возрастает на промежутках $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty).$$

б) $$f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}.$$

Область определения: $$x\ne 1,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

Область значений: $$E(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

Точка пересечения с осью ординат:

$$f(0)=\dfrac{0+1}{0-1}=-1,$$ значит, $$\,(0;-1).$$

Точка пересечения с осью абсцисс:

$$\dfrac{x+1}{x-1}=0 \\\\ x+1=0 \\\\ x=-1.$$

Значит, точка пересечения с осью абсцисс: $$(-1;0).$$

Асимптоты: $$x=1$$ — вертикальная, $$y=1$$ — горизонтальная.

Функция убывает на всей области определения, экстремумов не имеет.

в) $$f(x)=|x|-x^2.$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

Функция чётная.

Найдём точки пересечения с осями координат:

$$f(0)=|0|-0^2=0,$$ значит, график проходит через начало координат: $$\,(0;0).$$

Решим уравнение $$f(x)=0$$:

$$|x|-x^2=0 \\\\ |x|=x^2.$$

При $$x\ge 0$$ получаем $$x=x^2,$$ откуда $$x=0$$ или $$x=1.$$

При $$x<0$$ получаем $$-x=x^2,$$ откуда $$x=0$$ или $$x=-1.$$

Точки пересечения с осью абсцисс: $$(-1;0),\ (0;0),\ (1;0).$$

Область значений: $$E(f)=(-\infty;0.25].$$

Максимум функции достигается при $$x=\pm 0.5,$$

$$f(\pm 0.5)=0.5-0.25=0.25.$$

Значит, $$f_{\max}=0.25.$$

Функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-0.5]\cup[0;0.5]$$ и убывает на промежутках $$[-0.5;0]\cup[0.5;+\infty).$$

г) $$f(x)=\dfrac{2x+1}{x}.$$

Область определения: $$x\ne 0,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Область значений: $$E(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

Точки пересечения с осью ординат не существует, так как $$x=0$$ не входит в область определения.

Точка пересечения с осью абсцисс:

$$\dfrac{2x+1}{x}=0 \\\\ 2x+1=0 \\\\ x=-\dfrac12.$$

Значит, точка пересечения с осью абсцисс: $$\left(-\dfrac12;0\right).$$

Асимптоты: $$x=0$$ — вертикальная, $$y=2$$ — горизонтальная.

Функция убывает на всей области определения, экстремумов не имеет.

Ответ

а) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[0;+\infty),\ (0;1),\ (-1;0),\ (1;0).$$

б) $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\ E(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\ (0;-1),\ (-1;0),\ x=1,\ y=1.$$

в) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=(-\infty;0.25],\ (-1;0),\ (0;0),\ (1;0),\ f_{\max}=0.25.$$

г) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),\ \left(-\dfrac12;0\right),\ x=0,\ y=2.$$