Упр.89 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) Для функции $$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$ график косинуса сдвинут влево на $$\frac{\pi}{4}$$.
Функция возрастает на промежутках
$$\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
убывает на промежутках
$$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки максимума:
$$x_{\max}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad y_{\max}=\cos\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$
Точки минимума:
$$x_{\min}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad y_{\min}=\cos\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n+\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$
б) Для функции $$y=1-\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$ график синуса сдвинут вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ и вверх на 1.
Функция возрастает на промежутках
$$\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
убывает на промежутках
$$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки максимума:
$$x_{\max}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad y_{\max}=1-\sin\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n-\frac{\pi}{3}\right)=2.$$
Точки минимума:
$$x_{\min}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad y_{\min}=1-\sin\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n-\frac{\pi}{3}\right)=0.$$
в) Для функции $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$ график синуса сдвинут влево на $$\frac{\pi}{6}$$.
Функция возрастает на промежутках
$$\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки максимума:
$$x_{\max}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y_{\max}=\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$
Точки минимума:
$$x_{\min}=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad y_{\min}=\sin\left(\frac{4\pi}{3}+2\pi n+\frac{\pi}{6}\right)=-1.$$
г) Для функции $$y=2+\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$ график косинуса сдвинут вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ и вверх на 2.
Функция возрастает на промежутках
$$\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки максимума:
$$x_{\max}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y_{\max}=2+\cos\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n-\frac{\pi}{3}\right)=3.$$
Точки минимума:
$$x_{\min}=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad y_{\min}=2+\cos\left(\frac{4\pi}{3}+2\pi n-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$
Ответ
а) возрастает на $$\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{4}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right]$$; максимум $$1$$ при $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$, минимум $$-1$$ при $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$.
б) возрастает на $$\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]$$; максимум $$2$$ при $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$, минимум $$0$$ при $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$.
в) возрастает на $$\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right]$$; максимум $$1$$ при $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, минимум $$-1$$ при $$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$.
г) возрастает на $$\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right]$$; максимум $$3$$ при $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, минимум $$1$$ при $$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
