Упр.72 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$f$$ и $$g$$ определены на множестве всех действительных чисел.

1. $$h(x)=f(x)g^2(x), \quad f$$ — чётная, $$g$$ — нечётная.

   Тогда $$f(-x)=f(x)$$, $$g(-x)=-g(x)$$, значит

   $$h(-x)=f(-x)g^2(-x)=f(x)\cdot(-g(x))^2=f(x)g^2(x)=h(x).$$

   Следовательно, $$h$$ — чётная функция.

2. $$h(x)=f(x)-g(x), \quad f$$ и $$g$$ — чётные.

   Тогда $$f(-x)=f(x)$$, $$g(-x)=g(x)$$, значит

   $$h(-x)=f(-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=h(x).$$

   Следовательно, $$h$$ — чётная функция.

3. $$h(x)=f(x)+g(x), \quad f$$ и $$g$$ — нечётные.

   Тогда $$f(-x)=-f(x)$$, $$g(-x)=-g(x)$$, значит

   $$h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-h(x).$$

   Следовательно, $$h$$ — нечётная функция.

4. $$h(x)=f(x)g(x), \quad f$$ и $$g$$ — нечётные.

   Тогда $$f(-x)=-f(x)$$, $$g(-x)=-g(x)$$, значит

   $$h(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))\cdot(-g(x))=f(x)g(x)=h(x).$$

   Следовательно, $$h$$ — чётная функция.

Ответ: а) чётная; б) чётная; в) нечётная; г) чётная.