Упр.58 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Проверим чётность каждой функции, вычисляя $$f(-x)$$ и сравнивая с $$f(x)$$. При этом область определения должна быть симметричной относительно нуля.
$$f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}.$$
Область определения: $$x\ne 0,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$ Она симметрична.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{\cos(-5x)+1}{|-x|}=\frac{\cos 5x+1}{|x|}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}.$$
Область определения: $$x^2-1\ne 0,$$ значит $$x\ne \pm 1.$$ Тогда
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty),$$
и она симметрична.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{(-\sin x)^2}{x^2-1}=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^3}.$$
Область определения: $$x^3\ne 0,$$ то есть $$x\ne 0.$$ Значит,
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$
и она симметрична.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{2\sin^2\frac{-x}{2}}{(-x)^3}=\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{-x^3}=-\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^3}=-f(x).$$
Следовательно, эта функция не чётная, а нечётная.
$$f(x)=\frac{\cos x^3}{4-x^2}.$$
Область определения: $$4-x^2\ne 0,$$ значит $$x\ne \pm 2.$$ Тогда
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty),$$
и она симметрична.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{\cos(-x)^3}{4-(-x)^2}=\frac{\cos(-x^3)}{4-x^2}=\frac{\cos x^3}{4-x^2}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
Ответ: а), б), г) — чётные; в) — нечётная.
