Упр.54 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=1+\sin^2 x$$

Так как $$\sin^2 x$$ определено при всех $$x\in \mathbb{R}$$, то

$$D(y)=\mathbb{R}.$$

Из неравенства $$0\le \sin^2 x\le 1$$ получаем:

$$1\le 1+\sin^2 x\le 2.$$

Следовательно,

$$E(y)=[1;2].$$

б) $$y=\frac{x-1}{x}$$

Область определения задаётся условием:

$$x\ne 0,$$

значит,

$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Преобразуем выражение:

$$y=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}.$$

Так как $$\frac{1}{x}$$ принимает все ненулевые действительные значения, то $$y\ne 1$$. Поэтому

$$E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

в) $$y=\sqrt{x^2+4}$$

Подкоренное выражение всегда положительно:

$$x^2+4\ge 4>0.$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb{R}.$$

Так как $$x^2\ge 0$$, то

$$x^2+4\ge 4,$$

откуда

$$\sqrt{x^2+4}\ge 2.$$

Значит,

$$E(y)=[2;+\infty).$$

г) $$y=1{,}5-0{,}5\cos^2 x$$

Так как $$\cos^2 x$$ определено при всех $$x\in \mathbb{R}$$, то

$$D(y)=\mathbb{R}.$$

Из неравенства $$0\le \cos^2 x\le 1$$ получаем:

$$0\ge -0{,}5\cos^2 x\ge -0{,}5.$$

Прибавим $$1{,}5$$:

$$1{,}5\ge 1{,}5-0{,}5\cos^2 x\ge 1.$$

Следовательно,

$$E(y)=[1;1{,}5].$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } D(y)=\mathbb{R},\quad E(y)=[1;2];\\ &\text{б) } D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty);\\ &\text{в) } D(y)=\mathbb{R},\quad E(y)=[2;+\infty);\\ &\text{г) } D(y)=\mathbb{R},\quad E(y)=[1;1{,}5]. \end{aligned}$$