Упр.175 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Из первого уравнения выразим $$y=\pi-x.$$ Подставим во второе:

$$\cos x-\cos(\pi-x)=1,$$

так как $$\cos(\pi-x)=-\cos x,$$ получаем

$$\cos x+\cos x=1,$$

$$2\cos x=1,$$

$$\cos x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Тогда

$$y=\pi-x=\pi\mp \frac{\pi}{3}-2\pi k=\pm \frac{\pi}{3}-\pi(2k-1).$$

Ответ: $$\left(\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k;\ \pm \frac{\pi}{3}-\pi(2k-1)\right),\ k\in \mathbb Z.$$

б) Из первого уравнения выразим $$x=\frac{\pi}{2}+y.$$ Подставим во второе:

$$\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+y\right)+\sin^2 y=2.$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+y\right)=-\sin y,$$ то

$$\sin^2 y+\sin^2 y=2,$$

$$2\sin^2 y=2,$$

$$\sin^2 y=1,$$

откуда $$\sin y=\pm 1.$$ Следовательно,

$$y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+y=\pi+\pi n.$$

Ответ: $$\left(\pi+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in \mathbb Z.$$

в) Из первого уравнения выразим $$y=\pi-x.$$ Подставим во второе:

$$\sin x+\sin(\pi-x)=1.$$

Так как $$\sin(\pi-x)=\sin x,$$ получаем

$$2\sin x=1,$$

$$\sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Тогда

$$y=\pi-x=\pi-(-1)^k\frac{\pi}{6}-\pi k=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}-\pi(k-1).$$

Ответ: $$\left((-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k;\ (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}-\pi(k-1)\right),\ k\in \mathbb Z.$$

г) Из первого уравнения выразим $$y=\frac{\pi}{2}-x.$$ Подставим во второе:

$$\sin^2 x-\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1.$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,$$ то

$$\sin^2 x-\cos^2 x=1.$$

Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$-(\cos^2 x-\sin^2 x)=1,$$

$$-\cos 2x=1,$$

$$\cos 2x=-1.$$

Следовательно,

$$2x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Тогда

$$y=\frac{\pi}{2}-x=-\pi n.$$

Ответ: $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ -\pi n\right),\ n\in \mathbb Z.$$