Упр.162 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$3\sin \frac{x}{4}\ge 2$$
$$\sin \frac{x}{4}\ge \frac{2}{3}$$
Для функции $$\sin t$$ неравенство $$\sin t\ge \frac{2}{3}$$ выполняется при
$$t\in \left[\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n;\ \pi-\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb Z.$$
Полагая $$t=\frac{x}{4}$$, получаем
$$x\in \left[4\arcsin \frac{2}{3}+8\pi n;\ 4\pi-4\arcsin \frac{2}{3}+8\pi n\right],\quad n\in \mathbb Z.$$
б) $$4\cos \frac{x}{3}<-3$$
$$\cos \frac{x}{3}<-\frac{3}{4}$$
Для функции $$\cos t$$ имеем
$$t\in \left(2\pi n+\arccos\left(-\frac{3}{4}\right);\ 2\pi n+2\pi-\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)\right),\quad n\in \mathbb Z.$$
Полагая $$t=\frac{x}{3}$$, получаем
$$x\in \left(6\pi n+3\arccos\left(-\frac{3}{4}\right);\ 6\pi n+6\pi-3\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)\right),\quad n\in \mathbb Z.$$
в) $$5\tg 2x\le 3$$
$$\tg 2x\le \frac{3}{5}$$
Так как функция $$\tg t$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, то
$$2x\in \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \arctg \frac{3}{5}+\pi n\right],\quad n\in \mathbb Z.$$
Следовательно,
$$x\in \left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\ \frac{1}{2}\arctg \frac{3}{5}+\frac{\pi n}{2}\right],\quad n\in \mathbb Z.$$
г) $$0{,}5\sin 4x<-0{,}2$$
$$\sin 4x<-\frac{2}{5}$$
Для функции $$\sin t$$ получаем
$$t\in \left(-\pi-\arcsin \frac{2}{5}+2\pi n;\ -\arcsin \frac{2}{5}+2\pi n\right),\quad n\in \mathbb Z.$$
Полагая $$t=4x$$, имеем
$$x\in \left(-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}\arcsin \frac{2}{5}+\frac{\pi n}{2};\ -\frac{1}{4}\arcsin \frac{2}{5}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in \mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x\in \left[4\arcsin \frac{2}{3}+8\pi n;\ 4\pi-4\arcsin \frac{2}{3}+8\pi n\right],\ n\in \mathbb Z$$;
б) $$x\in \left(6\pi n+3\arccos\left(-\frac{3}{4}\right);\ 6\pi n+6\pi-3\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)\right),\ n\in \mathbb Z$$;
в) $$x\in \left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\ \frac{1}{2}\arctg \frac{3}{5}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in \mathbb Z$$;
г) $$x\in \left(-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}\arcsin \frac{2}{5}+\frac{\pi n}{2};\ -\frac{1}{4}\arcsin \frac{2}{5}+\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in \mathbb Z$$.
