Упр.64 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Числовой набор содержит девять нулей и некоторое число $$x$$: $$0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, x$$. Найдите для этого ряда дисперсию и стандартное отклонение, выразив их через $$x$$. Нарисуйте графики этих зависимостей. При каком значении $$x$$ они достигают минимума?

Подробный ответ

Найдём среднее арифметическое набора из девяти нулей и числа $$x$$:

$$\overline{x}=\frac{0+0+\cdots+0+x}{10}=\frac{x}{10}.$$

Теперь вычислим среднее значение квадратов:

$$\overline{x^2}=\frac{0^2+0^2+\cdots+0^2+x^2}{10}=\frac{x^2}{10}.$$

Дисперсия:

$$D=\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2=\frac{x^2}{10}-\left(\frac{x}{10}\right)^2=\frac{x^2}{10}-\frac{x^2}{100}=\frac{9x^2}{100}.$$

Стандартное отклонение:

$$\sigma=\sqrt{D}=\sqrt{\frac{9x^2}{100}}=\frac{3|x|}{10}.$$

График функции $$D(x)=\frac{9x^2}{100}$$ — парабола с вершиной в точке $$\left(0,0\right)$$, ветви направлены вверх.

График функции $$\sigma(x)=\frac{3|x|}{10}$$ — V-образный график с вершиной в точке $$\left(0,0\right)$$.

Обе функции принимают наименьшее значение при $$x=0$$.