Упр.363 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Случайным образом независимо друг от друга разыгрываются $$n$$ целых чисел из диапазона от 1 до $$n$$. Чему равно среднее количество полученных при этом различных чисел?

Обозначим через $$X$$ число различных чисел, которые появятся среди $$n$$ независимых розыгрышей.

Для каждого числа $$k$$ из набора $$1,2,\dots,n$$ введём индикаторную случайную величину $$I_k$$:

$$I_k= \begin{cases} 1, & \text{если число } k \text{ хотя бы раз выпало;}\\ 0, & \text{если число } k \text{ не выпало.} \end{cases}$$

Тогда

$$X=I_1+I_2+\dots+I_n.$$

Найдём математическое ожидание каждого $$I_k$$. Вероятность того, что число $$k$$ не выпадет ни разу за $$n$$ независимых розыгрышей, равна

$$\left(1-\frac{1}{n}\right)^n.$$

Значит, вероятность того, что число $$k$$ появится хотя бы один раз, равна

$$1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n.$$

Следовательно,

$$E(I_k)=1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n.$$

По линейности математического ожидания

$$E(X)=E(I_1)+E(I_2)+\dots+E(I_n) = n\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right).$$

Ответ

$$n\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right)$$