Упр.348 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)
- Требуется протестировать большое количество человек на наличие в крови некоторого вируса. Каждый тест обходится очень дорого, поэтому предлагается такая схема тестирования. $$N$$ человек разбиваются на группы размера $$k$$ (можно считать, что $$N$$ делится на $$k$$), и сначала проводится анализ крови, собранной во всей группе. Если тест отрицательный, то вся группа считается здоровой. Если тест положительный, то тестируется отдельно каждый человек из этой группы. Вероятность обнаружения вируса в крови любого человека равна $$p$$. Чему равно ожидаемое число тестов при такой схеме тестирования? Будет ли оно меньше $$N$$?
Рассмотрим одну группу из $$k$$ человек.
Вероятность того, что у каждого из них вируса нет, равна $$1-p$$, значит, вероятность того, что в группе никто не заражён, равна
$$(1-p)^k.$$
Тогда вероятность того, что тест на всю группу окажется положительным, равна
$$1-(1-p)^k.$$
Для одной группы число тестов равно:
- $$1$$ — если общий тест отрицательный;
- $$1+k$$ — если общий тест положительный.
Следовательно, математическое ожидание числа тестов для одной группы:
$$E_1=1+k\bigl(1-(1-p)^k\bigr).$$
Всего групп $$\frac{N}{k}$$, поэтому ожидаемое число тестов для всех $$N$$ человек:
$$E=\frac{N}{k}\left(1+k\bigl(1-(1-p)^k\bigr)\right) = \frac{N}{k}+N\bigl(1-(1-p)^k\bigr).$$
Проверим, будет ли это меньше $$N$$:
$$\frac{N}{k}+N\bigl(1-(1-p)^k\bigr) < N$$
делим на $$N$$:
$$\frac{1}{k}+1-(1-p)^k<1,$$
то есть
$$\frac{1}{k}<(1-p)^k.$$
Значит, ожидаемое число тестов будет меньше $$N$$ тогда и только тогда, когда
$$(1-p)^k>\frac{1}{k}.$$
Ответ
$$E=\frac{N}{k}+N\bigl(1-(1-p)^k\bigr).$$
Оно меньше $$N$$ при условии $$(1-p)^k>\frac{1}{k}.$$
