Упр.283 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. В ящике находятся $$a$$ красных и $$b$$ синих шаров. Из него вынимают наугад два шара. Могут ли вынутые шары иметь одинаковый цвет с вероятностью 0,5? Если да, то при каких значениях $$a$$, $$b$$?

Вероятность того, что два вынутых шара окажутся одного цвета, равна сумме вероятностей двух событий: оба шара красные или оба шара синие.

Всего способов вынуть 2 шара из $$a+b$$:

$$C_{a+b}^2=\frac{(a+b)(a+b-1)}{2}.$$

Вероятность вынуть 2 красных шара:

$$P(\text{2 красн.})=\frac{C_a^2}{C_{a+b}^2}=\frac{\frac{a(a-1)}{2}}{\frac{(a+b)(a+b-1)}{2}}=\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}.$$

Вероятность вынуть 2 синих шара:

$$P(\text{2 син.})=\frac{C_b^2}{C_{a+b}^2}=\frac{b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)}.$$

Тогда

$$P(\text{одинаковый цвет})=\frac{a(a-1)+b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)}.$$

По условию эта вероятность равна $$0{,}5$$:

$$\frac{a(a-1)+b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)}=\frac12.$$

Умножим на $$2(a+b)(a+b-1)$$:

$$2a(a-1)+2b(b-1)=(a+b)(a+b-1).$$

Раскроем скобки:

$$2a^2-2a+2b^2-2b=a^2+2ab+b^2-a-b.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-2ab+b^2-a-b=0.$$

То есть

$$(a-b)^2=a+b.$$

Следовательно, такие значения $$a$$ и $$b$$ существуют, если выполняется равенство $$(a-b)^2=a+b$$ при натуральных $$a,b$$.

Например, при $$a=3$$ и $$b=1$$ получаем:

$$(3-1)^2=4=3+1,$$

значит, вероятность действительно равна $$0{,}5$$.

Ответ

Да, могут. Это возможно при натуральных $$a$$ и $$b$$, для которых $$(a-b)^2=a+b$$; например, $$a=3$$, $$b=1$$.