Упр.272 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Мастер должен собрать в квартире заказчика книжный шкаф. При сборке шкафа используется $$20$$ стяжек, для каждой из которых нужен специальный болт. Эти болты имеют обыкновение ломаться при сборке с вероятностью $$0{,}2$$. Сколько таких болтов нужно взять с собой мастеру, чтобы собрать шкаф с вероятностью: а) не менее $$0{,}9$$; б) не менее $$0{,}95$$; в) не менее $$0{,}99$$?

Пусть мастер возьмёт с собой $$n$$ болтов. Для сборки шкафа нужно, чтобы среди них оказалось не менее $$20$$ исправных болтов.

Вероятность того, что один болт не сломается, равна $$0{,}8$$, а сломается — $$0{,}2$$.

Тогда вероятность того, что из $$n$$ болтов ровно $$20$$ окажутся исправными, а остальные $$n-20$$ сломаются, равна

$$P_n=C_n^{20}\cdot 0{,}8^{20}\cdot 0{,}2^{\,n-20}.$$

Нужно найти наименьшее $$n$$, при котором $$P_n$$ не меньше заданного числа.

а) Решаем неравенство

$$C_n^{20}\cdot 0{,}8^{20}\cdot 0{,}2^{\,n-20}\ge 0{,}9.$$

Подбором получаем наименьшее значение $$n=28$$.

б) Решаем неравенство

$$C_n^{20}\cdot 0{,}8^{20}\cdot 0{,}2^{\,n-20}\ge 0{,}95.$$

Подбором получаем наименьшее значение $$n=29$$.

в) Решаем неравенство

$$C_n^{20}\cdot 0{,}8^{20}\cdot 0{,}2^{\,n-20}\ge 0{,}99.$$

Подбором получаем наименьшее значение $$n=32$$.

Ответ

а) $$28$$ болтов; б) $$29$$ болтов; в) $$32$$ болта.