Упр.271 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Процент всхожести семян редкого сорта цветов составляет $$0.2$$. Сколько семян нужно посадить, чтобы с вероятностью $$0{,}99$$ взошёл хотя бы $$1$$ цветок? Хотя бы $$2$$ цветка?

Пусть вероятность всхожести одного семени равна $$p=0{,}2,$$ тогда вероятность того, что семя не взойдёт, равна $$q=1-p=0{,}8.$$

Если посадить $$n$$ семян, то вероятность того, что не взойдёт ни одно, равна $$0{,}8^n.$$

а) Хотя бы 1 цветок

Требуется, чтобы

$$1-0{,}8^n \ge 0{,}99.$$

Тогда

$$0{,}8^n \le 0{,}01.$$

Возьмём логарифм:

$$n \ge \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx \frac{-4{,}605}{-0{,}223} \approx 20{,}64.$$

Значит, минимальное целое $$n=21.$$

б) Хотя бы 2 цветка

Вероятность того, что взойдёт меньше двух семян, равна сумме вероятностей событий «не взойдёт ни одно» и «взойдёт ровно одно»:

$$P(0)+P(1)=0{,}8^n+n\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^{n-1}.$$

Требуется

$$1-\bigl(0{,}8^n+n\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^{n-1}\bigr)\ge 0{,}99,$$

то есть

$$0{,}8^n+n\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^{n-1}\le 0{,}01.$$

Проверим наименьшие значения. При $$n=30$$:

$$0{,}8^{30}+30\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^{29}\approx 0{,}0106>0{,}01.$$

При $$n=31$$:

$$0{,}8^{31}+31\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^{30}\approx 0{,}0091<0{,}01.$$

Значит, минимальное целое $$n=31.$$

Ответ

а) $$21$$ семя; б) $$31$$ семя.