Упр.257 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)
- Докажите теорему о наиболее вероятном числе успехов в испытаниях Бернулли.
Вероятность того, что в $$n$$ независимых испытаниях Бернулли успех наступит ровно $$k$$ раз, равна
$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$
где $$q=1-p$$.
Рассмотрим отношение двух соседних вероятностей:
$$\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}=\frac{C_n^{k+1}p^{k+1}q^{\,n-k-1}}{C_n^k p^k q^{\,n-k}}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{q}.$$
Если
$$\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}\ge 1,$$
то $$P_n(k+1)\ge P_n(k)$$, то есть вероятность возрастает. Это равносильно неравенству
$$\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{q}\ge 1,$$
или
$$p(n-k)\ge q(k+1).$$
После преобразования получаем
$$np-kp\ge k+1-kp-p,$$
$$np\ge k+q,$$
$$k\le np-q.$$
Значит, при увеличении $$k$$ вероятность $$P_n(k)$$ возрастает до тех пор, пока $$k$$ не станет больше $$np-q$$, а затем убывает. Следовательно, наибольшее значение вероятности достигается при таком целом $$k$$, которое наиболее близко к числу $$np$$.
Итак, наиболее вероятное число успехов равно:
$$k_0=[(n+1)p]$$
или, что то же самое, если $$(n+1)p$$ не целое, то
$$k_0=\lfloor (n+1)p \rfloor,$$
а если $$(n+1)p$$ — целое число, то наиболее вероятны два соседних значения:
$$k_0=(n+1)p-1 \quad \text{и} \quad k_0=(n+1)p.$$
Ответ
Наиболее вероятное число успехов в $$n$$ испытаниях Бернулли равно $$k_0=[(n+1)p]$$; если $$(n+1)p$$ — целое, то наиболее вероятны два значения: $$(n+1)p-1$$ и $$(n+1)p$$.
