Упр.251 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача Луки Пачоли о разделе ставки. Двое играют в игру, состоящую из отдельных партий без ничьих. Вероятность выигрыша для обоих игроков одинаковая — $$0{,}5$$. Победителем считается тот, кто первым выиграет $$6$$ партий. В каком отношении следует разделить приз, если игра была внезапно прервана при счёте: а) $$5:3$$; б) $$4:3$$; в) $$4:2$$?

Обозначим через $$A$$ вероятность того, что выиграет первый игрок, а через $$B$$ — вероятность победы второго игрока. Так как каждая партия независима и вероятность выигрыша в каждой партии для обоих игроков равна $$0{,}5$$, то нужно найти вероятности довести прерванную игру до победы.

1. а) Счёт $$5:3$$.

   Первому игроку нужна ещё одна победа, второму — три победы подряд.

   Тогда

   $$P(A)=0{,}5+0{,}5\cdot 0{,}5+0{,}5\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}875$$

   $$P(B)=(0{,}5)^3=0{,}125$$

   Следовательно, приз нужно разделить в отношении

   $$P(A):P(B)=0{,}875:0{,}125=7:1.$$

2. б) Счёт $$4:3$$.

   Первому игроку нужно две победы, второму — три.

   Вероятность победы первого игрока:

   $$P(A)=(0{,}5)^2+2\cdot (0{,}5)^3+3\cdot (0{,}5)^4=0{,}6875$$

   Вероятность победы второго игрока:

   $$P(B)=(0{,}5)^3+3\cdot (0{,}5)^4=0{,}3125$$

   Тогда

   $$P(A):P(B)=0{,}6875:0{,}3125=11:5.$$

3. в) Счёт $$4:2$$.

   Первому игроку нужно две победы, второму — четыре.

   Тогда

   $$P(A)=(0{,}5)^2+2\cdot (0{,}5)^3+3\cdot (0{,}5)^4+4\cdot (0{,}5)^5=0{,}8125$$

   $$P(B)=(0{,}5)^4+4\cdot (0{,}5)^5=0{,}1875$$

   Следовательно, приз делится в отношении

   $$P(A):P(B)=0{,}8125:0{,}1875=13:3.$$

Ответ

а) $$7:1$$; б) $$11:5$$; в) $$13:3$$.