Упр.241 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Два игральных кубика бросают $$5$$ раз. Найдите вероятности событий: а) сумма $$7$$ выпадет по крайней мере дважды; б) сумма $$12$$ выпадет по крайней мере дважды; в) сумма $$6$$ выпадет $$3$$ раза.

Вероятность выпадения нужной суммы в одном броске двух кубиков:

$$P(7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}, \qquad P(12)=\frac{1}{36}, \qquad P(6)=\frac{5}{36}.$$

Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},$$
где $$n=5$$.

1. Сумма $$7$$ выпадает по крайней мере дважды:

   $$P(\ge 2)=1-P(0)-P(1).$$

   $$P(0)=\left(\frac{5}{6}\right)^5=\frac{3125}{7776},$$
   $$P(1)=C_5^1\cdot \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 =5\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{625}{1296} =\frac{3125}{7776}.$$

   $$P(\ge 2)=1-\frac{3125}{7776}-\frac{3125}{7776} =\frac{1526}{7776}\approx 0{,}1962.$$

2. Сумма $$12$$ выпадает по крайней мере дважды:

   $$P(\ge 2)=1-P(0)-P(1).$$

   $$P(0)=\left(\frac{35}{36}\right)^5\approx 0{,}8674,$$
   $$P(1)=C_5^1\cdot \frac{1}{36}\cdot \left(\frac{35}{36}\right)^4\approx 0{,}1243.$$

   $$P(\ge 2)=1-0{,}8674-0{,}1243\approx 0{,}0083.$$

3. Сумма $$6$$ выпадает 3 раза:

   $$P(3)=C_5^3\cdot \left(\frac{5}{36}\right)^3\cdot \left(\frac{31}{36}\right)^2.$$

   $$P(3)=10\cdot \left(\frac{5}{36}\right)^3\cdot \left(\frac{31}{36}\right)^2\approx 0{,}0199.$$

Ответ

а) $$0{,}1962$$; б) $$0{,}0083$$; в) $$0{,}0199$$.