Упр.234 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

Докажите тождества. Найдите, где расположены все эти числа в треугольнике Паскаля.

Подробный ответ

Докажем тождества по индукции по $$k$$.

а) Докажем, что

$$C_n^0+C_{n+1}^1+\dots+C_{n+k}^{k}=C_{n+k+1}^{k}.$$

1) База индукции. При $$k=1$$ получаем

$$C_n^0+C_{n+1}^1=1+(n+1)=n+2=C_{n+2}^1,$$

то есть тождество верно.

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$k$$ верно

$$C_n^0+C_{n+1}^1+\dots+C_{n+k}^{k}=C_{n+k+1}^{k}.$$

Тогда

$$C_n^0+C_{n+1}^1+\dots+C_{n+k}^{k}+C_{n+k+1}^{k+1} = C_{n+k+1}^{k}+C_{n+k+1}^{k+1}.$$

По формуле Паскаля

$$C_{n+k+1}^{k}+C_{n+k+1}^{k+1}=C_{n+k+2}^{k+1}.$$

Значит, тождество верно и для $$k+1$$.

Следовательно,

$$C_n^0+C_{n+1}^1+\dots+C_{n+k}^{k}=C_{n+k+1}^{k}$$

доказано.

б) Докажем, что

$$C_n^n+C_{n+1}^n+\dots+C_{n+k}^{n}=C_{n+k+1}^{n+1}.$$

1) База индукции. При $$k=1$$

$$C_n^n+C_{n+1}^n=1+(n+1)=n+2=C_{n+2}^{n+1}.$$

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$k$$ верно

$$C_n^n+C_{n+1}^n+\dots+C_{n+k}^{n}=C_{n+k+1}^{n+1}.$$

Тогда

$$C_n^n+C_{n+1}^n+\dots+C_{n+k}^{n}+C_{n+k+1}^{n} = C_{n+k+1}^{n+1}+C_{n+k+1}^{n}.$$

По формуле Паскаля

$$C_{n+k+1}^{n+1}+C_{n+k+1}^{n}=C_{n+k+2}^{n+1}.$$

Значит, тождество верно и для $$k+1$$.

Следовательно,

$$C_n^n+C_{n+1}^n+\dots+C_{n+k}^{n}=C_{n+k+1}^{n+1}$$

доказано.

Оба тождества выражают сумму соседних элементов треугольника Паскаля: в первом случае складываются элементы одной диагонали, а результатом является следующий элемент на диагонали выше; во втором — сумма элементов другой диагонали также даёт соответствующий элемент треугольника Паскаля.