Упр.233 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

• В правлении банка $$7$$ человек. Каково должно быть минимальное число замков от сейфа и как следует распределить ключи между членами правления, чтобы любое большинство правления могло открыть сейф, а любое меньшинство не могло? Замечание: каждый член правления может получить ключи от нескольких замков.

Пусть на сейфе $$m$$ замков. Тогда для того, чтобы любое большинство из 7 человек могло открыть сейф, каждый замок должен иметь ключи у достаточно большого числа членов правления.

Если ключ от какого-то замка есть у 4 человек, то оставшиеся 3 его открыть не смогут. Значит, для каждого замка ключи должны быть у 4 членов правления.

Тогда каждый замок соответствует выбору 4 человек из 7, то есть число замков должно быть не меньше числа сочетаний:

$$m=\mathrm{C}_7^4=\frac{7!}{4!\,3!}=35.$$

Распределение ключей такое: для каждого замка ключи получают ровно 4 человека, а именно все возможные группы из 4 членов правления. Тогда любое большинство из 4, 5, 6 или 7 человек сможет открыть сейф, а любое меньшинство из 3 и менее человек — не сможет.

Ответ

$$35$$ замков; ключи от каждого замка должны быть у 4 членов правления.