Упр.219 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Одновременно бросают $$N$$ кубиков. С какой вероятностью максимум из выпавших чисел будет равен $$3$$? С какой вероятностью минимум из выпавших чисел будет равен $$3$$?

При бросании каждого кубика возможны 6 равновероятных исходов.

1) Максимум выпавших чисел равен 3.

Это значит, что все числа не больше 3, но не все меньше 3:

$$P(\max = 3)=P(\text{все числа }\le 3)-P(\text{все числа }\le 2).$$

Для одного кубика:

$$P(\le 3)=\frac{3}{6}=\frac12,\qquad P(\le 2)=\frac{2}{6}=\frac13.$$

Тогда для $$N$$ кубиков:

$$P(\max = 3)=\left(\frac12\right)^N-\left(\frac13\right)^N =\frac{3^N-2^N}{6^N}.$$

2) Минимум выпавших чисел равен 3.

Это значит, что все числа не меньше 3, но не все больше 3:

$$P(\min = 3)=P(\text{все числа }\ge 3)-P(\text{все числа }\ge 4).$$

Для одного кубика:

$$P(\ge 3)=\frac{4}{6}=\frac23,\qquad P(\ge 4)=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Тогда для $$N$$ кубиков:

$$P(\min = 3)=\left(\frac23\right)^N-\left(\frac12\right)^N =\frac{4^N-3^N}{6^N}.$$

Ответ

$$P(\max = 3)=\left(\frac12\right)^N-\left(\frac13\right)^N=\frac{3^N-2^N}{6^N},$$

$$P(\min = 3)=\left(\frac23\right)^N-\left(\frac12\right)^N=\frac{4^N-3^N}{6^N}.$$