Упр.198 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Докажите, что в формуле полной вероятности безусловная вероятность $$P(A)$$ всегда лежит в промежутке между минимальной и максимальной из условных вероятностей $$P(A\mid H_i)$$.

Пусть $$P_{\min}=\min P(A\mid H_i), \qquad P_{\max}=\max P(A\mid H_i).$$

По формуле полной вероятности

$$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A\mid H_i)\,P(H_i), \qquad \sum_{i=1}^{n} P(H_i)=1.$$

Так как для каждого $$i$$ выполняется

$$P_{\min}\le P(A\mid H_i)\le P_{\max},$$

то после умножения на $$P(H_i)\ge 0$$ получаем

$$P_{\min}P(H_i)\le P(A\mid H_i)P(H_i)\le P_{\max}P(H_i).$$

Сложим эти неравенства по всем $$i$$:

$$P_{\min}\sum_{i=1}^{n} P(H_i)\le \sum_{i=1}^{n} P(A\mid H_i)P(H_i)\le P_{\max}\sum_{i=1}^{n} P(H_i).$$

Так как $$\sum_{i=1}^{n} P(H_i)=1,$$ то

$$P_{\min}\le P(A)\le P_{\max}.$$

Ответ

$$\min P(A\mid H_i)\le P(A)\le \max P(A\mid H_i).$$