Упр.974 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
При каких значениях $$m$$ уравнение $$(m-2)x^2+(m+2)x+m=0$$ имеет различные корни?
Рассмотрим уравнение $$(m-2)x^2+(m+2)x+m=0.$$
Чтобы уравнение имело различные корни, возможны два случая:
- это квадратное уравнение и его дискриминант положителен;
- при $$m-2=0$$ уравнение становится линейным и имеет один корень.
Найдём дискриминант:
$$D=(m+2)^2-4(m-2)m$$
$$D=m^2+4m+4-4m^2+8m=-3m^2+12m+4.$$
Для двух различных корней нужно:
$$-3m^2+12m+4>0$$
$$3m^2-12m-4<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_m=(-12)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=144+48=192=64\cdot 3,$$
$$m=\frac{12\pm\sqrt{192}}{2\cdot 3}=\frac{12\pm 8\sqrt3}{6}=\frac{6\pm 4\sqrt3}{3}.$$
Так как коэффициент при $$m^2$$ положительный, то неравенство $$3m^2-12m-4<0$$ выполняется между корнями:
$$\frac{6-4\sqrt3}{3}<m<\frac{6+4\sqrt3}{3}.$$
Теперь рассмотрим случай $$m-2=0$$, то есть $$m=2$$. Тогда уравнение становится линейным:
$$4x+2=0,$$
и имеет один корень, значит подходит.
Объединяем результаты:
$$m\in\left(\frac{6-4\sqrt3}{3};\,2\right]\cup\left(2;\,\frac{6+4\sqrt3}{3}\right).$$
Ответ
$$m\in\left(\frac{6-4\sqrt3}{3};\,2\right]\cup\left(2;\,\frac{6+4\sqrt3}{3}\right).$$
