Упр.953 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Докажите справедливость равенства:
   а) $$\frac{\sqrt{a}+6}{a-36}-\frac{1}{\sqrt{a}+6}=\frac{12}{a-36}$$;
   б) $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}+\frac{x}{36-x}=\frac{3}{\sqrt{x}-6}$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sqrt{a}+6}{a-36}-\frac{1}{\sqrt{a}+6} = \frac{\sqrt{a}+6}{(\sqrt{a}-6)(\sqrt{a}+6)}-\frac{1}{\sqrt{a}+6}$$

$$= \frac{\sqrt{a}+6-(\sqrt{a}-6)}{(\sqrt{a}-6)(\sqrt{a}+6)} = \frac{12}{a-36}.$$

Что и требовалось доказать.

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}+\frac{x}{36-x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}-\frac{x}{x-36}$$

$$= \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+6)-3(\sqrt{x}-6)-x}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)} = \frac{x+6\sqrt{x}-3\sqrt{x}+18-x}{x-36}$$

$$= \frac{3\sqrt{x}+18}{x-36} = \frac{3(\sqrt{x}+6)}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)} = \frac{3}{\sqrt{x}-6}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{\sqrt{a}+6}{a-36}-\frac{1}{\sqrt{a}+6}=\frac{12}{a-36}, \qquad \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}-\frac{3}{\sqrt{x}+6}+\frac{x}{36-x}=\frac{3}{\sqrt{x}-6}.$$