Упр.938 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Докажите справедливость равенства:
а) $$\frac{5x}{x+y}\cdot\left(\frac{xy+y^2}{5x-5y}+xy+y^2\right)-\frac{xy}{x-y}=5xy$$;
б) $$\frac{a-5}{6-3a}+\frac{4(a+1)}{a^2+4a}:\left(\frac{9a}{a^2-16}-\frac{a+4}{a^2-4a}\right)=\frac{1}{6}$$.

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение в левой части:

$$\frac{5x}{x+y}\cdot\left(\frac{xy+y^2}{5x-5y}+xy+y^2\right)-\frac{xy}{x-y}$$
$$=\frac{5x}{x+y}\cdot\left(\frac{y(x+y)}{5(x-y)}+y(x+y)\right)-\frac{xy}{x-y}$$
$$=\frac{5x}{x+y}\cdot y(x+y)\left(\frac{1}{5(x-y)}+1\right)-\frac{xy}{x-y}$$
$$=\frac{5x}{x+y}\cdot \frac{y(x+y)\bigl(1+5(x-y)\bigr)}{5(x-y)}-\frac{xy}{x-y}$$
$$=\frac{xy}{x-y}+5xy-\frac{xy}{x-y}$$
$$=5xy.$$

Что и требовалось доказать.

б) Упростим левую часть:

$$\frac{a-5}{6-3a}+\frac{4(a+1)}{a^2+4a}:\left(\frac{9a}{a^2-16}-\frac{a+4}{a^2-4a}\right)$$
$$=\frac{a-5}{3(2-a)}+\frac{4(a+1)}{a(a+4)}:\left(\frac{9a}{(a-4)(a+4)}-\frac{a+4}{a(a-4)}\right)$$
$$=\frac{a-5}{3(2-a)}+\frac{4(a+1)}{a(a+4)}\cdot \frac{9a^2-(a+4)^2}{a(a-4)(a+4)}$$
$$=\frac{a-5}{3(2-a)}+\frac{4(a+1)}{a(a+4)}\cdot \frac{(a-4)(a+4)\bigl(9a-(a+4)\bigr)}{a(a-4)(a+4)}$$
$$=\frac{a-5}{3(2-a)}+\frac{4(a+1)(a-4)}{(2a-4)(4a+4)}$$
$$=\frac{a-5}{3(2-a)}+\frac{4(a-4)}{2(a-2)\cdot 4}$$
$$=\frac{a-5}{3(2-a)}+\frac{4a-16}{8(a-2)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a-5}{3(2-a)}+\frac{4a-16}{8(a-2)} = \frac{5-a}{3(a-2)}+\frac{4a-16}{8(a-2)}$$
$$= \frac{8(5-a)+3(4a-16)}{24(a-2)} = \frac{40-8a+12a-48}{24(a-2)}$$
$$= \frac{4a-8}{24(a-2)} = \frac{4(a-2)}{24(a-2)} = \frac16.$$

Что и требовалось доказать.