Упр.920 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Разложите многочлен на множители: а) $$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$$; б) $$x^4+x^2+1$$; в) $$x^8+x^4+1$$.

а) Используем формулу суммы кубов и группировку:

$$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$$
$$=(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)+(b^3-3b^2c+3bc^2-c^3)+(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3)$$
$$=3ab(b-a)+3c^2(b-a)-3c(b^2-a^2)$$
$$=3(b-a)(ab+c^2-c(a+b))$$
$$=3(b-a)(ab-ac-bc+c^2)$$
$$=3(b-a)(a-c)(b-c).$$

б) Представим многочлен как разность квадратов:

$$x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2$$
$$=(x^2+1-x)(x^2+1+x).$$

в) Аналогично:

$$x^8+x^4+1=(x^8+2x^4+1)-x^4=(x^4+1)^2-(x^2)^2$$
$$=(x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2).$$

Первый множитель разложим дальше:

$$x^4+1-x^2=(x^4+2x^2+1)-3x^2=(x^2+1)^2-(x\sqrt3)^2$$
$$=(x^2+1-x\sqrt3)(x^2+1+x\sqrt3).$$

Тогда

$$x^8+x^4+1=(x^2+1-x\sqrt3)(x^2+1+x\sqrt3)(x^4+x^2+1).$$

Ответ

а) $$3(b-a)(a-c)(b-c)$$
б) $$(x^2+1-x)(x^2+1+x)$$
в) $$(x^2+1-x\sqrt3)(x^2+1+x\sqrt3)(x^4+x^2+1)$$