Упр.857 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Какое число больше: а) $$\frac{10^{1986}+1}{10^{1987}+1}$$ или $$\frac{10^{1987}+1}{10^{1988}+1}$$; б) $$\frac{a^n+1}{a^{n+1}+1}$$ или $$\frac{a^{n+1}+1}{a^{n+2}+1}$$, где $$a$$ и $$n$$ — натуральные числа?

а) Обозначим

$$x=\frac{10^{1986}+1}{10^{1987}+1}, \qquad y=\frac{10^{1987}+1}{10^{1988}+1}.$$

Преобразуем каждую дробь, вынеся в знаменателе старшую степень:

$$x=\frac{10^{1986}+1}{10\cdot 10^{1986}+1} =\frac{10^{1986}+1}{10\left(10^{1986}+0{,}1\right)},$$
$$y=\frac{10^{1987}+1}{10\cdot 10^{1987}+1} =\frac{10^{1987}+1}{10\left(10^{1987}+0{,}1\right)}.$$

Удобнее сравнить значения функции

$$f(t)=\frac{t+1}{10t+1}, \qquad t>0.$$

При увеличении $$t$$ эта дробь уменьшается, так как

$$f'(t)=\frac{(10t+1)-10(t+1)}{(10t+1)^2}=\frac{-9}{(10t+1)^2}<0.$$

Так как $$10^{1987}>10^{1986}$$, то

$$\frac{10^{1986}+1}{10^{1987}+1}>\frac{10^{1987}+1}{10^{1988}+1}.$$

б) Рассмотрим

$$x=\frac{a^n+1}{a^{n+1}+1}, \qquad y=\frac{a^{n+1}+1}{a^{n+2}+1}.$$

Положим $$t=a^n$$ ($$t>0$$). Тогда

$$x=\frac{t+1}{at+1}, \qquad y=\frac{at+1}{a^2t+1}.$$

Сравним их, умножив крест-накрест:

$$\frac{t+1}{at+1} \; ? \; \frac{at+1}{a^2t+1}.$$

Достаточно проверить неравенство

$$(t+1)(a^2t+1) \; ? \; (at+1)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a^2t^2+a^2t+t+1 \; ? \; a^2t^2+2at+1.$$

После сокращения получаем

$$a^2t+t \; ? \; 2at,$$
$$t(a^2-2a+1) \; ? \; 0,$$
$$t(a-1)^2 \; ? \; 0.$$

Так как $$t>0$$ и $$(a-1)^2\ge 0$$, то

$$\frac{a^n+1}{a^{n+1}+1}\ge \frac{a^{n+1}+1}{a^{n+2}+1}.$$

Равенство возможно только при $$a=1$$.

Ответ

а) $$\frac{10^{1986}+1}{10^{1987}+1}>\frac{10^{1987}+1}{10^{1988}+1}.$$
б) $$\frac{a^n+1}{a^{n+1}+1}\ge \frac{a^{n+1}+1}{a^{n+2}+1},$$ равенство только при $$a=1.$$