Упр.855 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$n>1$$ и $$n$$ — нечётное число, то число вида $$n^{12}-n^8-n^4+1$$ делится нацело на $$128$$.

Пусть $$n>1$$ — нечётное число. Тогда $$n=2k+1$$, где $$k$$ — целое число.

Преобразуем выражение:

$$n^{12}-n^8-n^4+1 = n^8(n^4-1)-(n^4-1) = (n^8-1)(n^4-1)$$

Разложим дальше:

$$(n^8-1)(n^4-1) = (n^4-1)^2(n^4+1) = (n^2-1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)$$

Так как $$n$$ нечётное, то $$n-1$$ и $$n+1$$ — чётные числа. Следовательно,

$$(n-1)^2 \text{ кратно } 4,\qquad (n+1)^2 \text{ кратно } 4.$$

Кроме того, $$n^2$$ тоже нечётно, значит $$n^2+1$$ — чётное число, и потому

$$(n^2+1)^2 \text{ кратно } 4.$$

Также $$n^4$$ нечётно, значит $$n^4+1$$ — чётное число, то есть

$$n^4+1 \text{ кратно } 2.$$

Итак, произведение содержит множители, кратные $$4,4,4$$ и $$2$$, поэтому оно кратно

$$4\cdot 4\cdot 4\cdot 2=128.$$

Значит, число $$n^{12}-n^8-n^4+1$$ делится нацело на $$128$$.

Ответ

$$n^{12}-n^8-n^4+1$$ делится нацело на $$128$$.