Упр.763 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Докажите формулу: $$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$.

По определению числа размещений

$$A_n^k=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1).$$

Запишем факториал числа $$n$$:

$$n!=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)(n-k)(n-k-1)\cdots 1.$$

Тогда

$$\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)(n-k)(n-k-1)\cdots 1}{(n-k)(n-k-1)\cdots 1}.$$

Сокращая одинаковые множители, получаем

$$\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1).$$

Следовательно,

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Ответ

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$