Упр.651 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов и косинусов:

$$\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}, \qquad \cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$$
$$\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}, \qquad \cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$$

а)

$$(\sin a+\sin b)^2+(\cos a+\cos b)^2$$
$$=\left(2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\right)^2+\left(2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\right)^2$$
$$=4\sin^2\frac{a+b}{2}\cos^2\frac{a-b}{2}+4\cos^2\frac{a+b}{2}\cos^2\frac{a-b}{2}$$
$$=4\cos^2\frac{a-b}{2}\left(\sin^2\frac{a+b}{2}+\cos^2\frac{a+b}{2}\right)$$
$$=4\cos^2\frac{a-b}{2}.$$

б)

$$(\sin a-\sin b)^2+(\cos a-\cos b)^2$$
$$=\left(2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\right)^2+\left(-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\right)^2$$
$$=4\cos^2\frac{a+b}{2}\sin^2\frac{a-b}{2}+4\sin^2\frac{a+b}{2}\sin^2\frac{a-b}{2}$$
$$=4\sin^2\frac{a-b}{2}\left(\cos^2\frac{a+b}{2}+\sin^2\frac{a+b}{2}\right)$$
$$=4\sin^2\frac{a-b}{2}.$$

Ответ

$$(\sin a+\sin b)^2+(\cos a+\cos b)^2=4\cos^2\frac{a-b}{2},$$
$$(\sin a-\sin b)^2+(\cos a-\cos b)^2=4\sin^2\frac{a-b}{2}.$$