Упр.619 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение (619—620):
   
   а) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)$$
   
   б) $$\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)+\cos a$$

Воспользуемся формулами:

$$\cos x \cos y — \sin x \sin y = \cos(x+y),$$

$$\cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos(x-y).$$

1. $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)$$

   $$=\cos\left(\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

2. $$\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)+\cos a$$

   $$=\cos\frac{2\pi}{3}\cos a-\sin\frac{2\pi}{3}\sin a+\cos\frac{2\pi}{3}\cos a+\sin\frac{2\pi}{3}\sin a+\cos a$$

   $$=2\cos\frac{2\pi}{3}\cos a+\cos a=2\cdot\left(-\frac12\right)\cos a+\cos a=0.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$.