Упр.618 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos 75^\circ+\cos 15^\circ$$; б) $$\cos\frac{\pi}{12}-\cos\frac{5\pi}{12}$$.

а) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos 75^\circ+\cos 15^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)+\cos(45^\circ-30^\circ).$$

Тогда

$$\cos(45^\circ+30^\circ)+\cos(45^\circ-30^\circ)= (\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ)+(\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ).$$

Слагаемые с синусами сокращаются:

$$=2\cos45^\circ\cos30^\circ =2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt6}{2}.$$

б) Преобразуем выражение с помощью формулы разности косинусов:

$$\cos\frac{\pi}{12}-\cos\frac{5\pi}{12} =\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right).$$

Раскроем косинусы суммы и разности:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) = \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\right) — \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\right).$$

Получаем:

$$=2\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} =2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac12 =\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt6}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.