Упр.599 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Вычислите:

а) $$\sin \alpha,\ \tg \alpha,\ \ctg \alpha$$, если $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ и $$\cos\alpha=\frac{3}{5}$$;

б) $$\cos\alpha,\ \tg\alpha,\ \ctg\alpha$$, если $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$ и $$\sin\alpha=\frac{1}{2}$$;

в) $$\sin\alpha,\ \tg\alpha,\ \ctg\alpha$$, если $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$ и $$\cos\alpha=-0{,}6$$;

г) $$\cos\alpha,\ \tg\alpha,\ \ctg\alpha$$, если $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$ и $$\sin\alpha=-0{,}8$$;

д) $$\sin\alpha,\ \cos\alpha,\ \ctg\alpha$$, если $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ и $$\tg\alpha=2{,}4$$;

е) $$\cos\alpha,\ \sin\alpha,\ \tg\alpha$$, если $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$ и $$\ctg\alpha=-1$$;

ж) $$\sin\alpha$$, если $$\tg\alpha=-\frac{5}{12}$$ и $$-\frac{\pi}{2}<\alpha<0$$;

з) $$\cos\alpha$$, если $$\ctg\alpha=1$$ и $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$.

Подробный ответ

а) $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \cos\alpha=\frac{3}{5}.$$
Так как угол в I четверти, то $$\sin\alpha>0.$$ По формуле $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ получаем:
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{16}{25}} =\frac{4}{5}.$$
Тогда
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{4/5}{3/5} =\frac{4}{3},\qquad \ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha} =\frac{3}{4}.$$
б) $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,\ \sin\alpha=\frac{1}{2}.$$
Во II четверти $$\cos\alpha<0,$$ поэтому
$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} =-\sqrt{\frac{3}{4}} =-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} =-\frac{1}{\sqrt{3}} =-\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad \ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha}=-\sqrt{3}.$$
в) $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},\ \cos\alpha=-0{,}6.$$
В III четверти $$\sin\alpha<0,$$ значит
$$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha} =-\sqrt{1-(-0{,}6)^2} =-\sqrt{1-0{,}36} =-0{,}8.$$
Тогда
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{-0{,}8}{-0{,}6} =\frac{4}{3},\qquad \ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha} =\frac{3}{4}.$$
г) $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,\ \sin\alpha=-0{,}8.$$
В IV четверти $$\cos\alpha>0,$$ поэтому
$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-(-0{,}8)^2} =\sqrt{1-0{,}64} =0{,}6.$$
Тогда
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{-0{,}8}{0{,}6} =-\frac{4}{3},\qquad \ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha} =-\frac{3}{4}.$$
д) $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \tg\alpha=2{,}4.$$
Используем формулу
$$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}.$$
Тогда
$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}} =\frac{1}{\sqrt{1+2{,}4^2}} =\frac{1}{\sqrt{6{,}76}} =\frac{5}{13}.$$
Далее
$$\sin\alpha=\tg\alpha\cdot\cos\alpha =2{,}4\cdot\frac{5}{13} =\frac{12}{13},\qquad \ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha} =\frac{5}{12}.$$
е) $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,\ \ctg\alpha=-1.$$
Во II четверти $$\sin\alpha>0,\ \cos\alpha<0.$$ По формуле
$$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2\alpha}} =\frac{1}{\sqrt{1+(-1)^2}} =\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Тогда
$$\cos\alpha=\ctg\alpha\cdot\sin\alpha =-1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \tg\alpha=\frac{1}{\ctg\alpha}=-1.$$
ж) $$-\frac{\pi}{2}<\alpha<0,\ \tg\alpha=-\frac{5}{12}.$$
Здесь $$\sin\alpha<0,\ \cos\alpha>0.$$ Найдём косинус:
$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}} =\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{25}{144}}} =\frac{12}{13}.$$
Тогда
$$\sin\alpha=\tg\alpha\cdot\cos\alpha =-\frac{5}{12}\cdot\frac{12}{13} =-\frac{5}{13}.$$
з) $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},\ \ctg\alpha=1.$$
В III четверти $$\sin\alpha<0,\ \cos\alpha<0.$$ По формуле
$$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2\alpha}} =\frac{1}{\sqrt{1+1^2}} =\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
С учётом знака в III четверти:
$$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Тогда
$$\cos\alpha=\ctg\alpha\cdot\sin\alpha =1\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$