Упр.406 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- а) $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{8}}$$ и $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{4}}$$;
б) $$\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}}$$ и $$\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}$$;
в) $$\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}}$$ и $$\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}$$;
г) $$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{6}}$$ и $$\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{5}}$$.
Сравним числа $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{8}}$$ и $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{4}}.$$
Так как $$0<\frac{2}{5}<1,$$ то при большем показателе степень меньше. Сравним показатели:
$$\frac{5}{8}<\frac{3}{4}.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{8}} > \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{4}}.$$
Сравним $$\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}}$$ и $$\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}.$$
Представим в виде степеней с основанием $$2$$:
$$\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}}=2^{\frac{5}{8}-\frac{1}{6}}=2^{\frac{15-4}{24}}=2^{\frac{11}{24}},$$
$$\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}=2^{\frac{7}{4}-\frac{4}{3}}=2^{\frac{21-16}{12}}=2^{\frac{5}{12}}=2^{\frac{10}{24}}.$$
Так как $$\frac{11}{24}>\frac{10}{24},$$ то
$$\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}} > \frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}.$$
Сравним $$\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}}$$ и $$\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}.$$
Запишем через степени с основанием $$3$$:
$$\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}}=3^{\frac{10}{15}-\frac{3}{10}}=3^{\frac{20-9}{30}}=3^{\frac{11}{30}},$$
$$\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}=3^{\frac{2}{14}-\frac{2}{9}}=3^{\frac{9-14}{63}}=3^{-\frac{5}{63}}.$$
Так как $$3^{\frac{11}{30}}>3^{-\frac{5}{63}},$$ то
$$\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}} > \frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}.$$
Сравним $$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{6}}$$ и $$\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{5}}.$$
Возведём оба числа в тридцатую степень:
$$\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{6}}\right)^{30}=\left(\frac{1}{5}\right)^5=\frac{1}{5^5},$$
$$\left(\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right)^{30}=\left(\frac{1}{6}\right)^6=\frac{1}{6^6}.$$
Так как $$5^5<6^6,$$ то
$$\frac{1}{5^5}>\frac{1}{6^6}.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{6}} > \left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{5}}.$$
Ответ
а) $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{8}} > \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{4}}$$; б) $$\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}} > \frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}$$; в) $$\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}} > \frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}$$; г) $$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{6}} > \left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{5}}$$.
