Упр.398 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) $$\left(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1\right)\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)$$

б) $$\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)$$

Используем формулы сокращённого умножения:

$$(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uv-uw-vw)=u^3+v^3+w^3-3uvw$$
и
$$(u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3.$$

1. $$\left(x^{\frac23}+x^{\frac13}+1\right)\left(x^{\frac13}-1\right)$$
   положим $$u=x^{\frac13}$$. Тогда
   $$(u^2+u+1)(u-1)=u^3-1.$$
   Следовательно,
   $$x^{\frac23}+x^{\frac13}+1)(x^{\frac13}-1)=x-1.$$

2. $$\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}-a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}\right)$$
   положим $$u=a^{\frac13}$$, $$v=b^{\frac13}$$. Тогда
   $$(u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3.$$
   Значит,
   $$\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}-a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}\right)=a+b.$$

Ответ

а) $$x-1$$; б) $$a+b$$.