Упр.392 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Вычислите:

1. а) $$\left(9^{-\frac14}+(2\sqrt{2})^{-\frac23}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{9^{-1}}-(2\sqrt{2})^{-\frac23}\right)$$
   б) $$\left((5\sqrt{5})^{-\frac23}+\sqrt[4]{81^{-1}}\right)\cdot\left((5\sqrt{5})^{-\frac23}-81^{-\frac14}\right)$$

Используем свойства степеней с рациональным показателем и формулу разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

1. $$\left(9^{-\frac14}+(2\sqrt2)^{-\frac23}\right)\left(\sqrt[4]{9^{-1}}-(2\sqrt2)^{-\frac23}\right)$$

   Так как
   $$\sqrt[4]{9^{-1}}=9^{-\frac14},$$
   то получаем:
   $$\left(9^{-\frac14}+(2\sqrt2)^{-\frac23}\right)\left(9^{-\frac14}-(2\sqrt2)^{-\frac23}\right) =\left(9^{-\frac14}\right)^2-\left((2\sqrt2)^{-\frac23}\right)^2.$$

   $$=9^{-\frac12}-(2\sqrt2)^{-\frac43}$$

   $$9^{-\frac12}=\frac13,\qquad (2\sqrt2)^{-\frac43}=\left(2^{\frac32}\right)^{-\frac43}=2^{-2}=\frac14.$$

   Тогда
   $$\frac13-\frac14=\frac{4-3}{12}=\frac1{12}.$$

2. $$\left((5\sqrt5)^{-\frac23}+\sqrt[4]{81^{-1}}\right)\left((5\sqrt5)^{-\frac23}-81^{-\frac14}\right)$$

   Так как
   $$\sqrt[4]{81^{-1}}=81^{-\frac14},$$
   то:
   $$\left((5\sqrt5)^{-\frac23}+81^{-\frac14}\right)\left((5\sqrt5)^{-\frac23}-81^{-\frac14}\right) =\left((5\sqrt5)^{-\frac23}\right)^2-\left(81^{-\frac14}\right)^2.$$

   $$=(5\sqrt5)^{-\frac43}-81^{-\frac12}$$

   $$(5\sqrt5)^{-\frac43}=\left(5^{\frac32}\right)^{-\frac43}=5^{-2}=\frac1{25}, \qquad 81^{-\frac12}=\frac19.$$

   Тогда
   $$\frac1{25}-\frac19=\frac{9-25}{225}=-\frac{16}{225}.$$

Ответ

$$\text{а) } \frac1{12}, \qquad \text{б) } -\frac{16}{225}$$