Упр.140 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Исследуем:
- При каких значениях $$a$$ множество решений неравенства $$(x-3)(x-5)(x-a)^2>0$$ состоит из двух интервалов? Из трёх интервалов?
- При каких значениях $$a$$ множество решений неравенства $$(x-3)(x-5)(x-a)^2<0$$ состоит из одного интервала? Из двух интервалов?
а) Рассмотрим неравенство $$(x-3)(x-5)(x-a)^2>0.$$
Множитель $$(x-a)^2$$ всегда неотрицателен и обращается в нуль при $$x=a$$, поэтому знак произведения определяется множителями $$(x-3)$$ и $$(x-5)$$, а точка $$x=a$$ может только исключаться из решения, если она попадает внутрь промежутка.
Если $$a<3$$ или $$a>5$$, то точка $$a$$ лежит вне промежутка между $$3$$ и $$5$$, и решение имеет вид
$$x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty).$$
Это два интервала.
Если $$3\le a\le 5$$, то точка $$a$$ находится между $$3$$ и $$5$$ или совпадает с одной из этих точек, и тогда из промежутка $$(3;5)$$ вырезается точка $$a$$ (или ничего не вырезается при совпадении с границей). Получаем
$$x\in(-\infty;3)\cup(3;a)\cup(a;5)\cup(5;+\infty),$$
то есть три интервала при $$3<a<5$$, а при $$a=3$$ или $$a=5$$ — снова два интервала.
б) Рассмотрим неравенство $$(x-3)(x-5)(x-a)^2<0.$$
Здесь знак произведения отрицателен только между корнями $$3$$ и $$5$$, а точка $$a$$, если она лежит внутри этого промежутка, вырезает из него одну точку.
Если $$a<3$$ или $$a>5$$, то
$$x\in(3;5),$$
то есть получается один интервал.
Если $$3<a<5$$, то
$$x\in(3;a)\cup(a;5),$$
то есть получается два интервала.
При $$a=3$$ или $$a=5$$ снова имеем один интервал $$(3;5)$$.
Ответ
а) Два интервала при $$a\in(-\infty;3]\cup[5;+\infty)$$; три интервала при $$3<a<5$$.
б) Один интервал при $$a\in(-\infty;3]\cup[5;+\infty)$$; два интервала при $$3<a<5$$.
